Barisan dan deret aritmetika/geometri - Bilangan & Aljabar Materi Matematika Wajib Kelas 10

Barisan dan deret merupakan salah satu materi penting dalam matematika yang sering muncul mulai dari bangku SMP hingga perguruan tinggi. Banyak persoalan di dunia nyata seperti cicilan, tabungan, pola susunan kursi, hingga pertumbuhan penduduk dapat dimodelkan menggunakan konsep barisan dan deret. Di antara berbagai jenis barisan, dua yang paling sering dipelajari adalah barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri.

Artikel ini akan membahas secara lengkap dan santai mengenai apa itu barisan, apa bedanya dengan deret, kemudian fokus pada dua jenis utama tadi: aritmetika dan geometri. Kita juga akan membahas rumus-rumus penting, contoh soal, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

1. Apa itu barisan dan deret?

Secara sederhana, barisan adalah urutan bilangan yang disusun menurut pola tertentu. Bilangan-bilangan di dalam barisan disebut suku. Biasanya, suku pertama dilambangkan dengan ( U_1 ) atau ( a ), suku kedua ( U_2 ), dan seterusnya hingga suku ke-n yang dilambangkan ( U_n ).

Contoh:

• 2, 4, 6, 8, 10, ... adalah barisan bilangan genap.

• 3, 6, 12, 24, 48, ... adalah barisan yang setiap sukunya dikali 2 dari suku sebelumnya.

Sementara itu, deret adalah penjumlahan dari suku-suku dalam suatu barisan. Jadi, kalau kita punya barisan 2, 4, 6, 8, maka deretnya misalnya:

2 + 4 + 6 + 8

Jadi singkatnya:

• Barisan → fokus pada urutan bilangan.

• Deret → fokus pada jumlah dari suku-suku dalam urutan tersebut.

2. Barisan Aritmetika

2.1 Pengertian

Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih antara dua suku yang berurutan selalu konstan. Selisih ini disebut beda dan biasanya dilambangkan dengan huruf ( b ) atau ( d ) (dari kata difference).

Contoh:
2, 5, 8, 11, 14, ...

Jika kita hitung selisihnya:

• 5 − 2 = 3

• 8 − 5 = 3

• 11 − 8 = 3

Selisihnya selalu 3. Jadi beda barisan tersebut adalah 3 dan ini adalah barisan aritmetika.

2.2 Rumus suku ke-n barisan aritmetika

Jika:

• suku pertama = ( a )

• beda = ( b )

• suku ke-n = ( U_n )

Maka rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah:

[
U_n = a + (n - 1)b
]

Rumus ini sangat membantu saat kita ingin mencari suku tertentu tanpa menulis semua suku satu per satu.

2.3 Contoh soal barisan aritmetika

Contoh 1:
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 4 dan beda 5. Tentukan suku ke-10.

Diketahui:

• ( a = 4 )

• ( b = 5 )

• ( n = 10 )

Gunakan rumus:
[
U_n = a + (n - 1)b = 4 + (10 - 1) \cdot 5 = 4 + 9 \cdot 5 = 4 + 45 = 49
]

Jadi, suku ke-10 adalah 49.

Contoh 2:
Dalam suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-1 adalah 7 dan suku ke-4 adalah 19. Berapakah beda barisan dan suku ke-10?

Suku ke-4:
[
U_4 = a + (4 - 1)b = a + 3b
]

Diketahui ( a = 7 ) dan ( U_4 = 19 ), maka:
[
19 = 7 + 3b \Rightarrow 3b = 12 \Rightarrow b = 4
]

Sekarang cari suku ke-10:
[
U_{10} = a + (10 - 1)b = 7 + 9 \cdot 4 = 7 + 36 = 43
]

Jadi, beda barisannya adalah 4 dan suku ke-10 adalah 43.

2.4 Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku dalam barisan aritmetika. Jika kita ingin menjumlahkan n suku pertama, kita bisa menggunakan rumus:

[
S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)
]

atau dapat juga ditulis:

[
S_n = \frac{n}{2} \big(2a + (n - 1)b\big)
]

Di mana:

• ( S_n ) = jumlah n suku pertama,

• ( a ) = suku pertama,

• ( U_n ) = suku ke-n,

• ( b ) = beda,

• ( n ) = banyaknya suku.

Contoh soal deret aritmetika:

Seorang siswa menabung setiap minggu. Minggu pertama ia menabung Rp10.000, minggu kedua Rp15.000, minggu ketiga Rp20.000, dan seterusnya, selalu naik Rp5.000 setiap minggu. Berapa total tabungan setelah 10 minggu?

Di sini:

• ( a = 10.000 )

• ( b = 5.000 )

• ( n = 10 )

Pertama cari suku ke-10:
[
U_{10} = a + (n - 1)b = 10.000 + 9 \cdot 5.000 = 10.000 + 45.000 = 55.000
]

Lalu jumlah 10 suku pertama:
[
S_{10} = \frac{10}{2}(a + U_{10}) = 5(10.000 + 55.000) = 5 \cdot 65.000 = 325.000
]

Jadi, total tabungan setelah 10 minggu adalah Rp325.000.

3. Barisan Geometri

3.1 Pengertian

Barisan geometri adalah barisan yang perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu konstan. Perbandingan ini disebut rasio dan biasanya dilambangkan dengan huruf ( r ).

Contoh:
3, 6, 12, 24, 48, ...

Jika kita hitung:

• 6 ÷ 3 = 2

• 12 ÷ 6 = 2

• 24 ÷ 12 = 2

Rasionya selalu 2, jadi ini adalah barisan geometri dengan:

• ( a = 3 )

• ( r = 2 )

3.2 Rumus suku ke-n barisan geometri

Jika:

• suku pertama = ( a )

• rasio = ( r )

• suku ke-n = ( U_n )

Maka:
[
U_n = a \cdot r^{n-1}
]

Contoh soal:

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 5 dan rasio 3. Tentukan suku ke-6.

Diketahui:

• ( a = 5 )

• ( r = 3 )

• ( n = 6 )

[
U_6 = 5 \cdot 3^{5} = 5 \cdot 243 = 1.215
]

Jadi, suku ke-6 adalah 1.215.

4. Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dalam barisan geometri. Untuk jumlah n suku pertama, rumus yang digunakan adalah (dengan ( r \neq 1 )):

[
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
]

Contoh soal deret geometri:

Sebuah perusahaan memberikan bonus kepada karyawan dengan pola sebagai berikut: tahun pertama Rp1.000.000, tahun kedua Rp2.000.000, tahun ketiga Rp4.000.000, dan seterusnya, selalu dua kali lipat dari tahun sebelumnya. Berapa total bonus yang diterima karyawan tersebut sampai tahun ke-5?

Di sini:

• ( a = 1.000.000 )

• ( r = 2 )

• ( n = 5 )

[
S_5 = 1.000.000 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1}
= 1.000.000 \cdot \frac{32 - 1}{1}
= 1.000.000 \cdot 31
= 31.000.000
]

Jadi, total bonus selama 5 tahun adalah Rp31.000.000.

4.1 Deret geometri tak hingga

Ada kasus khusus ketika kita menjumlahkan deret geometri yang tak hingga, artinya jumlah sukunya tidak terbatas. Namun, deret geometri tak hingga hanya memiliki jumlah yang berhingga jika nilai (|r| < 1) (nilai mutlak rasio kurang dari satu).

Rumusnya:

[
S_\infty = \frac{a}{1 - r}
]

Contoh:

[
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots
]

Di sini:

• ( a = \frac{1}{2} )

• ( r = \frac{1}{2} )

[
S_\infty = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1
]

Artinya, jika kita terus menjumlahkan suku-suku tersebut tanpa batas, hasilnya mendekati 1.

5. Perbedaan Utama Aritmetika dan Geometri

Walaupun sama-sama barisan dan deret, aritmetika dan geometri memiliki karakteristik yang berbeda:

1. Polanya

   • Aritmetika: bertambah atau berkurang dengan selisih tetap (ditambah atau dikurang).

   • Geometri: bertambah atau berkurang dengan faktor tetap (dikali atau dibagi).

2. Rumus suku ke-n

   • Aritmetika:
     [
     U_n = a + (n - 1)b
     ]

   • Geometri:
     [
     U_n = a \cdot r^{n-1}
     ]

3. Sifat pertumbuhan

   • Aritmetika: pertumbuhan linear. Jika digambar pada grafik, titik-titiknya cenderung membentuk garis lurus.

   • Geometri: pertumbuhan eksponensial. Jika rasionya lebih dari 1, nilai suku akan cepat sekali membesar.

4. Contoh pola di kehidupan sehari-hari

   • Aritmetika: tabungan yang selalu ditambah jumlah yang sama setiap periode, susunan kursi yang tiap baris bertambah 2 kursi, dan sebagainya.

   • Geometri: bunga majemuk pada bank, pertumbuhan bakteri yang membelah diri, nilai investasi yang terus berkembang dengan persentase tetap.

6. Penerapan Barisan dan Deret Aritmetika/Geometri dalam Kehidupan Nyata

6.1 Perencanaan keuangan

Konsep barisan aritmetika sering muncul saat kita menabung dengan jumlah tetap setiap bulan. Misalnya, kamu berencana menyisihkan uang Rp500.000 tiap bulan. Kalau ingin tahu berapa jumlah tabungan setelah 12 bulan, kamu sebenarnya sedang berurusan dengan deret aritmetika.

Sebaliknya, saat kamu menaruh uang di bank atau instrumen investasi dengan bunga majemuk (misalnya 5% per tahun), nilai tabunganmu akan berkembang secara geometri. Setiap tahun, jumlah uangmu dikali faktor yang sama, misalnya 1,05. Ini adalah barisan dan deret geometri.

6.2 Ilmu pengetahuan dan teknologi

Dalam fisika dan biologi, barisan dan deret geometri digunakan untuk memodelkan fenomena pertumbuhan, misalnya:

• Pertumbuhan populasi bakteri yang membelah diri secara berkala.

• Peluruhan radioaktif suatu zat, di mana massa zat berkurang dengan rasio tetap.

Dalam ilmu komputer, deret geometri muncul ketika menghitung kompleksitas algoritma tertentu, kapasitas memori, atau saat menganalisis performa sistem yang bekerja dalam tahapan berlipat ganda.

6.3 Arsitektur dan desain

Dalam arsitektur, pola susunan bata, tangga, kursi di stadion, atau lampu di sepanjang jalan sering kali mengikuti pola barisan aritmetika. Misalnya, jumlah anak tangga per segmen, atau jarak antar tiang lampu yang teratur.

Sementara itu, dalam desain grafis dan seni, rasio geometri seperti deret yang mendekati rasio emas sering digunakan untuk menciptakan komposisi yang estetis dan seimbang.

7. Tips Belajar Barisan dan Deret

Agar lebih mudah menguasai materi ini, berikut beberapa tips praktis:

1. Pahami konsep, bukan hanya rumus
   Cobalah bertanya pada diri sendiri: “Polanya ditambah atau dikali?” Jika ditambah (atau dikurang) dengan selisih tetap, berarti aritmetika. Jika dikali (atau dibagi) dengan faktor tetap, berarti geometri.

2. Biasakan menulis informasi yang diketahui
   Saat mengerjakan soal, tulis dulu:

   • ( a = ) ?

   • ( b ) atau ( r = ) ?

   • ( n = ) ?

   • Ditanya: ( U_n ) atau ( S_n ) ?
     Kebiasaan ini membantu menghindari kekeliruan.

3. Latihan dari soal sederhana ke kompleks
   Mulailah dari soal-soal dasar seperti mencari suku ke-n, lalu lanjut ke soal cerita seperti tabungan, cicilan, atau pertumbuhan.

4. Gunakan logika untuk mengecek jawaban
   Misalnya, jika rasionya 2 dan kamu mencari suku yang lebih besar posisinya, nilainya seharusnya lebih besar. Kalau hasil perhitunganmu justru mengecil, ada kemungkinan rumus atau perhitunganmu salah.

5. Gambarkan dalam bentuk tabel atau grafik
   Untuk memahami perbedaan aritmetika dan geometri, cobalah membuat tabel nilai suku ke-1, ke-2, hingga ke-10, lalu gambar grafiknya. Kamu akan melihat bahwa garis aritmetika naik lurus, sedangkan geometri melonjak tajam atau menurun curam.

9. Latihan Soal Mandiri

Sebagai penutup, cobalah beberapa latihan berikut agar pemahamanmu makin kuat. Kamu bisa mengecek jawaban dengan menghitung pelan-pelan atau menggunakan kalkulator untuk membantu perhitungan akhirnya.

1. Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 12 dan beda −3.
   a. Tuliskan lima suku pertama barisan tersebut.
   b. Tentukan suku ke-15.
   c. Hitung jumlah 15 suku pertamanya.

2. Seorang pedagang menambah stok barang setiap minggu mengikuti pola barisan geometri. Minggu pertama ia membeli 10 buah, minggu kedua 20 buah, minggu ketiga 40 buah, dan seterusnya.
   a. Tentukan rasio barisan tersebut.
   b. Berapa banyak barang yang ia beli pada minggu ke-7?
   c. Berapa total barang yang telah dibeli hingga minggu ke-7?

3. Sebuah deret geometri memiliki suku pertama 81 dan rasio (\frac{1}{3}).
   a. Tuliskan empat suku pertama deretnya.
   b. Hitung jumlah 8 suku pertamanya.
   c. Tentukan jumlah deret tak hingga dari barisan tersebut.

Dengan rajin mengerjakan soal-soal seperti di atas, kamu tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami cara menggunakannya secara fleksibel dalam berbagai situasi. Jika sudah terbiasa, barisan dan deret aritmetika maupun geometri akan terasa jauh lebih mudah dan bahkan menyenangkan untuk dipelajari.

Barisan dan deret aritmetika serta geometri bukan sekadar materi abstrak dalam buku matematika. Keduanya adalah alat yang sangat kuat untuk memahami pola dan perubahan di sekitar kita, mulai dari hal yang sederhana seperti menabung, hingga hal yang kompleks seperti pertumbuhan populasi dan analisis investasi.

Dengan memahami:

• apa itu barisan dan deret,

• ciri khas aritmetika dan geometri,

• rumus-rumus penting seperti ( U_n ), ( S_n ), dan deret tak hingga,

kamu akan lebih siap menghadapi berbagai jenis soal di sekolah maupun tantangan perhitungan di kehidupan nyata. Kuncinya adalah banyak berlatih, tidak takut mencoba berbagai pendekatan, dan selalu mengaitkan konsep matematika dengan contoh-contoh konkret di sekitarmu.

Semakin sering kamu berlatih, pola-pola aritmetika dan geometri akan terasa semakin alami, dan pada akhirnya kamu bisa melihat matematika sebagai bahasa yang menjelaskan bagaimana dunia ini bekerja.